О важности Теоремы Байеса в покере

Покер — в первую очередь отлично продуманная с точки зрения интереса игра, в которой на короткой дистанции немалое значение имеет удача. Вот только это описание справедливо лишь для большинства обычных любителей карточных соревнований, не слишком задумывающихся о глубинных механиках Техасского Холдема и других дисциплин. Успешные профессионалы добиваются результата не благодаря Фортуне, а за счет прагматичного изучения математических основ покера. И каждый регуляр, стремящийся к спортивным вершинам, обязан хорошо понимать пресловутую теорию вероятностей и одну из ее основных идей — теорему Байеса.

Что такое теорема Байеса?

В сухой формулировке теорема Байеса позволяет определить вероятность события с учетом того, что до этого произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. Эта довольно простая внешне идея в действительности далеко не очевидна для мозга, когда тот пытается использовать ее на практике. Для наглядности можно привести классический пример.

Пациента клиники обследуют на наличие бессимптомного заболевания, которое статистически обнаруживается в среднем у 1 человека из 100. Точность применяемого теста составляет 95%. Результат оказывается положительным. Вопрос: какова вероятность, что проверяемый действительно болен?

Большинство ответит, что шанс равен 95%. Это ошибка, причем весьма существенная. Например, были обследованы 10,000 пациентов, и у 100 из них обнаружена болезнь, а у 9,900 — нет. При использовании упомянутого теста на сотне людей с подтвержденным недугом получены 95 положительных и 5 отрицательных результатов.

Далее проверку проходят 9,900 человек, которые точно здоровы. Тест дает 495 положительных и 9,405 отрицательных итогов.

В сумме есть 590 положительных результатов, и из них у 95 пациентов обнаружена болезнь, а у 495 — нет. Таким образом, когда тест показывает, что новый испытуемый страдает от недуга, математическая вероятность этого составляет 95 / 590 * 100 = 16%.

Что будет, если частота заболевания снизится до 1 человека из 1,000? Подсознательно кажется, что уж теперь-то объективность вырастет, но все ровно наоборот: шанс оказаться больным падает до 2%. И чем реже встречается патология, тем выше погрешность у тестирования.

Применение теоремы Байеса в покере: пример 1

Эта абсолютно нелогичная для мозга концепция имеет колоссальное значение для понимания механик игры, основанной на вероятностях. Проще всего доказать это на примере. На ривере покерист со средним шоудаун-вэлью столкнулся с олл-ином на $500 при банке $800. Соперник вполне может блефовать, но у него в диапазоне есть и сильные комбинации. Стоит ли уравнивать?

Согласно принципу пот-оддсов, для безубыточного колла необходимо побеждать в 28% случаев: $500 / ($800 + $500 + $500) * 100. Это значит, что у оппонента в спектре должны быть 28% блефов. Если он обманывает реже, выгоднее ответить на ставку, если чаще — выбросить блефкетчер.

Здесь важны два момента. Во-первых, насколько вероятно, что игрок будет блефовать, имея слабую руку? Очевидно, что это имеет значение, и многие покеристы останавливаются на данном этапе. Блефует он или нет? Если да — колл, если нет — фолд.

Но не менее важен другой вопрос: каково количество изображаемых им комбинаций и какую долю они занимают в его диапазоне?

К примеру, доска предполагает наличие флешей, и игрок считает, что у соперника либо рука из этой категории, либо блеф. Можно допустить, что к риверу у него остались всего 100 стартеров, 20 из них в связке с бордом дают одномастное сочетание. Еще 30 — это топ-пары или доперы. С ними оппонент не делал бы ставку на вэлью, но также и не блефовал бы. Еще 50 — проигрышные комбинации, с которыми логично попытаться забрать банк обманом.

Противник будет атаковать со всеми 20 флешами. Побеждать необходимо в 28% случаев. Чтобы оправдать колл, соперник должен иметь хотя бы 8 блефов (8 / 28 * 100 = 28%).

Главный вопрос заключается в том, как часто оппонент видит у себя руку с потенциалом на фолд-эквити и действительно использует ее для обмана? Если вероятность составляет как минимум 16%, то получаются требуемые 8 комбинаций из 50 претендентов. Здесь следует выделить два важных числа:

• 28%. Значение зависит от ситуации, так как на различных бордах начальный диапазон противника к риверу состоит из разного количества натсов. Если у него очень сильный спектр, для достижения 28% ему пришлось бы блефовать слишком часто.
• 16%. Это значение зависит исключительно от оппонента. Он точно из тех, кто будет обманывать хотя бы в 16% случаев, имея такую возможность?

Если допустить, что ставку сделал нит, то у него точно не будет 16%. Хорошо, если он найдет в себе силы блефовать в 5% случаев, а в остальных спокойно отдаст банк на вскрытии. Очевидно, коллировать бет от таких игроков не стоит. Но что, если немного изменить условия?

К примеру, у нита предполагается не флеш, а более редкая комбинация — фулл-хаус. Его диапазон состоит из 5 возможных натсов, 45 рук со средним вэлью, не подходящих для ставки, и 60 сочетаний, пригодных для блефа. Если он пытается обмануть всего с тремя из них, то выходит 5%. То есть в 5 из 8 случаев у него победная комбинация. Общая частота блефов — 37.5%, что больше необходимых 28%. И теперь игрок должен коллировать бет.

Смысл последнего примера в том, что предполагаемые на определенных досках натсы вроде фулл-хаусов встречаются почти настолько же редко, насколько и блефы от осторожных оппонентов.

Нужно понимать, что ситуации с таким низким количеством возможных сильных рук встречаются крайне нечасто. Но суть в том, что для корректного решения недостаточно знать, что соперник — прямолинейный нит. Важно также, насколько редки репрезентуемые им натсы.

Применение теоремы Байеса в покере: пример 2

Средний игрок совершает множество контбетов на флопе, за исключением мультипотов. Это наблюдение мало зависит от текстуры доски и даже от относительной позиции. Более компетентные регуляры чаще ставят IP и умеют различать «свои» и «чужие» борды. Они знают, что есть ситуации для ренджбета, а есть моменты, когда следует чекать со всем диапазоном. Как извлечь пользу из этой информации с помощью теоремы Байеса?

В новом примере на ставках $2/$5 один соперник на ранней позиции лимпит, второй на MP делает изолейт в размере $25. Игрок коллирует на баттоне, лимпер фолдит.

Ситуация крайне неудобная для префлоп-агрессора. Его рейз заколлировал игрок в позиции, находящийся не на блайндах, а текстура слишком динамичная, чтобы оппонент легко сдался. И все же незнакомый покерист на MP делает контбет в размере $35 при банке $62.

Является ли его действие ошибкой? Может быть. Но есть также вероятность, что это поляризованная ставка на вэлью с какой-нибудь оверпарой. Как реагировать игроку в такой ситуации?

Известно, что большинство покеристов нередко контбетят без оглядки на позицию. Также известно, что по ГТО продолженная ставка на такой текстуре должна быть относительно мелкой. Можно предположить, что 80% игроков не понимают основы оптимальной стратегии, хотя фактически этот процент сильно зависит от уровня ставок. 20% сделают контбет с идеальными частотой и сайзингом, то есть вероятность их ошибки равна 0%. Очевидно, что это упрощение, поскольку совершенных игроков не существует в природе. Пусть правильное распределение диапазона предполагает ставку в 30% случаев с топовыми руками и верно подобранными блефами. Есть четыре варианта для трактовки происходящего, и остается лишь рассчитать их вероятности:

• Сильный игрок с сильной рукой — 20% * 30% = 6%.
• Сильный игрок со слабой рукой — 20% * 70% = 14%.
• Слабый игрок с сильной рукой — 80% * 30% = 24%.
• Слабый игрок со слабой рукой — 80% * 70% = 56%.

Лишь три из этих сценариев предполагают ставку, так как хороший покерист чекает с плохими комбинациями. При этом первоначальный вопрос заключался в том, является ли контбет от неизвестного соперника неправильным. Но ошибка — это только бет от слабого игрока с неподходящими для этого сочетаниями, а значит шанс, что противник допустил оплошность, равен 56%. Таким образом, ставка в описанной ситуации с большей вероятностью окажется дефектом стратегии, чем удачным ходом.

Пусть эта раздача была повторена 100 раз. В 14 из них у крепкого оппонента плохая рука, и он прочекал. Этот сценарий следует исключить, поскольку покерист из примера объявил контбет. Из оставшихся 86 ситуаций ошибка состоялась в 56 случаях, то есть в 65%. Это достаточно высокий процент, чтобы по умолчанию действовать так, словно соперник — любитель без понимания стратегии. Можно атаковать его широким рейзом или флоатить в расчете на перехват инициативы на поздних этапах.

Иногда игрок будет упираться в натсы, уступая банк на вскрытии или по ходу раздачи. Но в покере важно не побеждать в каждой партии, а максимизировать число удачных исходов. Именно в этом помогает теория вероятностей и теорема Байеса в частности.